אליאב, בן רחל ויהודה, נולד ביום א' בטבת תשט"ו (26.12.1954) בתל-אביב. כשהיה בן חמש עמדה המשפחה לעבור לרמת השרון, וכדי שלא יקשה עליו להיקלט בחברת ילדים חדשה, נהגה אמו להביא אותו יום-יום לבית הספר החדש. מעט ידעה באיזו קלות ייקלט אבי בחברה החדשה וכמה נוח וחביב יהיה על הכל. הפעוט רכש מיד לא רק את לב בני גילו כי אם גם את מוריו בחיוכו החם ובפקחותו הרבה. כתבה עליו מורתו: "אינני זוכרת ילדים רבים שהיה בהם ריכוז כזה של לבביות, חן ואמון מוחלט במורה. אני בטוחה שילדים כמו אבי עשו אותי למורה יותר טובה.תמיד חשתי בחוב שאני חבה לו על האמון הבלתי מוגבל, שהביע לי בדרכו השקטה והמהססת".
אבי ידע ליצור סביבו אווירה של עליצות ורוח טובה, היה מוכן לוותר ולסלוח ובלבד שלא לגרום סכסוכים ומריבות. בגיל רך התגלתה נטייתו למדעים וכשהיה בן עשר ביקש ואף קיבל מדודו מעבדה כימית. בחצר הבית גידל אבי כלבים ואתון ובחדרו החזיק אקווריום. סקרנותו ורצונו לדעת לא ידעו גבול וכשלמד בבית-הספר התיכון "השרון", גמלה בלבו ההחלטה ללמוד רפואה. מוריו סמכו ידם על החלטתו, כי הכירו את טוב-לבו, את נכונותו לעזור ואת כישרונותיו המצוינים. בבית-הספר היה אבי גם כוכב החוג הדרמטי. חבריו ומוריו לא ישכחו את משחקו בתפקידים הראשיים בהצגות בבית-הספר שמילא.
את בר-המצווה שלו חגג אבי בתקופת מלחמת ששת הימים ובדרשתו אמר בין יתר דבריו: "כשם שאעשה כמיטב יכולתי להיות לכם, הורי, בן נאמן שתוכלו להתגאות בו, לא אשכח ביום שמחתי זה את מולדתי וארצי היקרה ואעשה הכל למען בנייתה ותפארתה". אחרי שסיים את לימודיו בבית-הספר התיכון נותרו לו כשישה חודשים עד למועד גיוסו. הוא התעקש לצאת לעבוד כדי להרוויח דמי-כיס ולא לקחת מאביו דבר שאינו הכרחי. תמיד גרס: לעולם לא תתבע מזולתך יותר משאתה נכון לתרום.
אליאב גויס לצה"ל בסוף ינואר 1973. הוא עמד בבחינות לקורס טיס, אולם עשה בקורס שלושה שבועות בלבד. הוא התגבר על האכזבה המרה ודרש להציבו לחיל השריון. את האימון הבסיסי במקצועות השריון סיים בציון גבוה וכאן מצא את עצמו. אבי העריץ את החיל ואהב את תפקידו כאיש צוות. הוא הרבה לספר על הטנק שאהב ועל שמות החיבה שהמציא לו. הוא האמין בכלי שלו וטיפח אותו. חבריו בצבא אהבו אותו ונהנו להיות במחיצתו. אבי גבה הקומה והחביב השרה סביבו אווירה מיוחדת של עליזות, קורת-רוח, משובת נעורים יחד עם בגרות וסמכותיות. הוא ניחן בקור-רוח ושלווה ומעל לכל ִ בביטחון רב. הייתה בו אהבה רבה לחיים ויכולת ליהנות מכל רגע.
כשפרצה מלחמת יום הכיפורים נשלח אבי עם יחידתו לחזית הצפון והשתתף בקרבות הבלימה נגד הסורים ברמת הגולן.
ביום שלישי, י"ג בתשרי תשל"ד (9.10.1973) נפגע הטנק שלו מפגיעה ישירה בקרב ליד החרמונית שבאזור סלעית, ואבי נהרג.
הוא הובא למנוחת-עולמים בבית-העלמין בקרית-שאול. השאיר אחריו הורים, אחות ואח. לאחר נופלו הועלה לדרגת רב-טוראי.
במכתבו למשפחה השכולה כתב עליו מפקדו: "... אליאב נפל במערכה בעת מילוי תפקידו בקרב הבלימה ברמת הגולן, ליד החרמונית. בנכם שירת ביחידת שריון, היה חייל טוב, הצטיין במקצועו והיה מקובל ואהוד על חבריו. בשמי ובשם כל חיילי היחידה הנני מביע את צערנו העמוק והננו משתתפים באבלכם. יהי זכרו ברוך".
כתבה עליו מורתו: "אבי השאיר אחריו שובל של לבביות, חן ונעימות. הוא השאיר אחריו כאב בלב כל אלה שאהבו אותו וזיכרון ברוך".
הוריו של אבי הקימו לזכרו ספרייה בבית-הספר "אמירים" ברמת-השרון.